mat!

 

Potênciação com números inteiros

(negativos, zero, positivos)

Sem fazer o cálculo da potenciação, coloque o sinal de resposta adequado, positivo ou negativo.

1. (-432) ²⁷ =

2. (+832) ⁶ =

3. (+44) ⁷ =

4. (+231) ⁸ =

5. (-312) ¹⁵ =

6. (-34) ⁹ =

7. (+25) ² =

8. (-32) ⁴ =

9. (-35) ⁵=

10. (+35) ⁸ =

Soluções:

1. (-432) ²⁷ = - pois é uma base negativa com um expoente ímpar;

2. (+832) ⁶ = + pois possui expoente par (o sinal da base não importa);

3. (+44) ⁷ = + pois é uma base positiva com um expoente ímpar;

4. (+231) ⁸ = + pois possui expoente par (o sinal da base não importa);

5. (-312) ¹⁵ = - pois é uma base negativa com um expoente ímpar;

6. (-34) ⁹ = - pois é uma base negativa com um expoente ímpar;

7. (+25) ² = + pois possui expoente par (o sinal da base não importa);

8. (-32) ⁴ = + pois possui expoente par (o sinal da base não importa);

9. (-35) ⁵= - pois é uma base negativa com um expoente ímpar;

10. (+35) ⁸ = + pois possui expoente par (o sinal da base não importa).

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T C 14 - 12-09-2006

Resolva os seguintes cálculos:

i (-15) x (-4) : (+30) =

ii (-7) - (+4) x (-30) =

iii (-9) + (-15) : (+5) =

iv (+7) - (+12) : (+13) =

v (+7) x (-4) + (+2) x (-8) =

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Frações em expressões numéricas. Frações em expressões algébricas

Frações e Potenciação

Inteiro

Um inteiro é uma totalidade. Normalmente quando o assunto são inteiros matemáticos costuma-se utilizar figuras geométricas divididas em partes iguais (que representariam as frações), no entanto isso não é necessário.

Basta termos claro que um inteiro é algo que aceita divisões em partes iguais entre si. Cada uma dessas partes é uma fração, uma parte desse mesmo inteiro.

Podemos associar o inteiro com uma abstração ou com um objeto material.

Por que o inteiro sempre é igual a um?

Porque a adição de suas partes é igual a um.

Imaginemos que um inteiro foi dividido em cinco partes iguais entre si. Assim, cada parte será um quinto desse mesmo inteiro. Escrevemos assim: 1/5. Como são cinco partes, então teremos como inteiro: 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5, que resultam em 5/5.

Como a operação que define a fração é a divisão, 5/5 ou 5 : 5 é 1, logo,o inteiro é igual a 1, o que ocorre para todos os inteiros, em relação à adição de suas frações ou partes constitutivas.

Frações

Definição

São as partes iguais em que um inteiro é dividido.

Fórmula genérica de uma fração qualquer

a : b, sendo a um número qualquer e b um número qualquer diferente de zero.

Fração matemática e não-matemática

Fração matemática ocorre quando um inteiro é dividido em partes iguais entre si.

Representações gráficas

Termos de uma fração

Denominador

O denominador fica abaixo do traço da divisão, e indica em quantas vezes o inteiro foi dividido.

Em uma divisão, o denominador corresponde exatamente ao divisor.

Numerador

O numerador é o traço que fica acima do traço de divisão. Ele indica, das partes do denominador, com quantas irei trabalhar.

Não podemos dizer que, em uma divisão ele corresponderia em essência ao dividendo, pois uma fração admite numeradores menores que denominadores. É claro que também é possível a divisão com número menor no dividendo do que o divisor, mas então estaríamos frente a uma aplicação de números decimais que, aliás, se originam exatamente das frações.

Representação de uma fração

Leitura de frações

Frações com denominador menor que dez

Após a leitura normal do número que fica no numerador, lê-se as expressões meios ou metade (2), terços (3), quartos (4), quintos(5), sextos(6), sétimos(7), oitavos(8) e nonos(9), dependendo do número que se encontre no denominador.

Ex: 67/3 (sessenta e sete terços), 5/8 (cinco oitavos), 6/9(seis nonos), 7/4 (sete quartos) 

Frações com denominador igual a dez

Lê-se o numerador normalmente e o denominador será lido como décimo(s) e seu(s) múltiplos.

Ex: 5/10 (cinco décimos), 48/100 (quarenta e oito centésimos), 6/1000 (seis milésimos)

Frações com denominador maior que dez

Lê-se o numerador e, após, o denominador como se lê um número normalmente. Após a leitura do denominador acrescenta-se a palavra avos.

Ex: 45/11 (quarenta e cinco onze avos) 5/78 (cinco setenta e oito avos), 6/12 (seis doze avos)

Operação definidora: divisão.

Termos da divisão e termos da fração.

Divisão exata e divisão não-exata. Frações aparentes e frações impróprias.

Porque o denominador de uma fração não pode ser zero.

Tipos de fração

Fração própria

Fração imprópria

Fração aparente

Número misto: outra forma de escrever uma fração imprópria

Origem: fração imprópria

Constituição de um número misto

Reconstituição e cálculo com números mistos

Relações de grandeza entre frações

Proporcionalidade

Relação maior do que e menor do que

Relação de igualdade entre frações

Simplificação de uma fração. Regras de divisibilidade

Operações fracionárias

Adição e subtração

Frações com mesmo denominador

Frações com denominadores diferentes. Proporcionalidade

Aplicação do mmc

Multiplicação entre frações

Divisão entre frações

Fração de uma fração

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Inteiro

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Por que o inteiro sempre é igual a um?

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Termos da divisão e termos da fração.

Divisão exata e divisão não-exata. Frações aparentes e frações impróprias.

Porque o denominador de uma fração não pode ser zero.

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Constituição de um número misto

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Introduzindo noções de linguagem matemática.

A matemática é uma ciência que se desenvolve racional e estruturalmente através de alguns eixos importantes. São eles: (a) um eixo relacional através do qual ela trabalha relacionando números, medidas, grandezas e situações da vida real, através de um pensamento racional e logicamente estruturado; (b) um eixo simbólico que qualifica a sua linguagem própria; (c) um eixo no qual a generalização simbólica é especialmente importante, caso em que a álgebra é muito expressiva e (d) um eixo que limita a leitura ao que os símbolos expressam.

No primeiro caso, eixo relacional, encontramos, por exemplo, as possibilidades de lidar com dados e problemas, mesmo aqueles que, em princípio não sejam específicos de uma estrutura de linguagem de matemática.

No segundo caso, eixo simbólico, vem a linguagem propriamente dita, com sua simbologia toda própria e o caráter universal da mesma. Seja em que linguagem for, o símbolo “>” significará “maior do que”, ou seja uma relação entre dois dados, no qual o primeiro, à esquerda terá sempre uma maior qualidade ou quantidade que o segundo dado, à direita. Assim, escrever “a > b” significa dizer que “a” é maior que b”. Essa leitura é universal.

No terceiro caso, da generalização, basta recordarmos a função generalista das fórmulas, como meio real de simplificar escrituralmente a essência de determinadas relações. Exemplo: “a + b = c” representa a operação de adição, e isso traz a certeza de que não preciso repetir infinitamente como se estrutura tal operação lógica.

No quarto caso, queremos dizer que a linguagem matemática se difere da linguagem comum por não admitir, por exemplo, um gestual que pode interferir no sentido do que se diz. As interpretações são assim objetivas.

Incógnitas, variáveis e constantes.

Uma incógnita ou termo desconhecido é algo (um número ou uma expressão) que eu desconheço e que pretendo ou não conhecer e que, conhecida, tem a propriedade de tornar verdadeira uma sentença matemática ou resolver um problema. Encontrar o valor de uma incógnita ou de um termo desconhecido implica em primeiro lugar no meu entendimento do que o problema propõe. Descobrir a incógnita é terminar com o problema, utilizando a técnica matemática disponível para tanto.

Uma variável é uma grandeza, uma medida ou um número que pode mudar de grandeza e ao faze-lo, interferir em outra grandeza, medida ou número, estabelecendo uma relação entre ambos. Um exemplo é a relação variável que encontramos na relação velocidade e tempo. Cada vez que aumentamos a velocidade de um móvel, diminui o tempo para que esse móvel percorra uma determinada distância.

Uma constante é um elemento que se mantém não variável quando outras grandezas variam. Por exemplo, no caso acima, na relação entre a velocidade e o tempo, a constante é a distância, que não varia, permanecendo a mesma.

Cálculo algébrico.

Conforme vimos antes, as letras podem ser substituídas por números, quando, por exemplo, quero escrever uma frase genérica, do tipo “o triplo de um número qualquer somado a quatro é 17”, e como desconhecemos o número, escrevemos

3x + 4 = 17,

onde “x” representa o número desconhecido. No caso, o valor será descoberto usando um sistema que nós denominamos de equação de primeiro grau com uma variável, mas não é o caso aqui. O que importa é sabermos isso, que o cálculo algébrico envolve letras e números. Os mesmos se desenvolvem através de monômios e polinômios, que veremos a seguir.

Monômio é um termo utilizado em cálculo algébrico e que associa, através da operação de multiplicação, letra(s) e número(s).

Assim, quando escrevemos, por exemplo 4m³p², estamos escrevendo, na realidade,

4 x m x m x m x p x p. Logo, escrever 4m³p² é uma simplificação bem vinda. Imagina trabalhar com tantas letras assim!

Ah, sim, preste atenção:

Quando eu escrevo, por exemplo m x m x m eu tenho uma potencia, no caso m³.

Quando eu escrevo, por exemplo p x p igualmente eu tenho uma potência, no caso p² .

Mas quando eu escrevo 4m³p^2,, eu tenho m³p² + m³p² + m³p² + m³p² , ou seja, quatro vezes a adição do mesmo m³p² , por isso tenho a multiplicação de 4 vezes o m³p² .

Os monômios se constituem de uma parte numérica e de uma parte literal. No exemplo acima, 4 é a parte numérica e m³p^2,, é a parte literal. Temos de ter cuidado com algumas situações. São elas:

(a) muitas vezes não está diretamente escrito qualquer número antes da parte literal. O aluno então, desavisado (não o David, é claro!), pensa que não existe a parte numérica. Erro. Ela existe e é um ou menos um. Exemplos: - ab³. A parte numérica é -1. Só não está escrita porque é desnecessário, pois o um é elemento neutro na multiplicação, tanto faz escrever ou não, não muda nada no cálculo. Outro exemplo: d⁴. O número 1 (mais um) é a parte numérica. Então, cuidado.

(b) outras vezes a parte numérica é uma fração. Por exemplo, em – ab³/5, a parte numérica é -1/5 (menos um quinto, porque toda a parte literal está sendo multiplicada por – 1/5. Então a parte numérica é essa, menos um quinto.

(c ) por fim, muitas vezes se confundem os expoentes da parte literal com a parte numérica. Cuidado! Isso é um erro. Quando eu escrevo p⁴ , significa escrever p x p x p x p, ou seja, o quatro apenas indica quantas vezes o p irá multiplicar a si próprio como base de potência. Grave isso com atenção.

Monômios semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal, e não partes literais parecidas. Isso é muito importante, pelas operações que se seguem. Quando estamos verificando a semelhança de monômios, as partes numéricas não tem absolutamente nenhuma importância. Só interessam as partes literais.

Assim,

o monômio 5 a³b⁴c é semelhante ao monômio - a³b⁴c porque suas partes literais são exatamente iguais entre si.

O monômio 6a³ t ⁴ p, contudo, é diferente do monômio 6a³ t ⁴ p², porque suas partes literais não são exatamente iguais entre si.

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